OMM 2025

Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente, con $E$ y $F$ distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a los lados $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B$, $P$ y $Q$, está en la recta $BD$.

Sea $n \geq 4$ un entero. Encuentra todas las sucesiones de números reales

$^*$Previamente conocido únicamente como “Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas”, a partir de este año se renombra de forma oficial para evitar confusiones con los otros concursos nacionales de la OMM. $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tales que se satisfacen simultáneamente las siguientes ecuaciones:

$$\begin{aligned} x_1^3 + x_2 &= x_2 x_3 + 1 \\ x_2^3 + x_3 &= x_3 x_4 + 1 \\ &\vdots \\ x_n^3 + x_1 &= x_1 x_2 + 1 \end{aligned}$$

Determina para cuáles enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \ldots, p_n$ tales que

$$p_1p_2 + 1, p_2p_3 + 1, \ldots, p_{n-1}p_n + 1 \text{ y } p_np_1 + 1$$

son todas potencias perfectas.

Nota. Una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ donde $a$ y $k$ son enteros positivos con $k \geq 2$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_B$ es tangente a $EF$ y a $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_C$ es tangente a $EF$ y a $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_B$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_C$ en $Y$. Sea $\omega_A$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto al vértice $A$. Prueba que la reflexión de $\omega_A$ con respecto a $EF$ es tangente a $XY$. Nota: El excentro opuesto a $A$ es la intersección de las bisectrices de los ángulos externos en $B$ y $C$.