OMM 2024 Problem 5

Sean $A$ y $B$ conjuntos infinitos de números reales positivos tales que:

• Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es un elemento de $B$.

• Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$.

Prueba que $A = B$ o existe un número real $r$ tal que $B = \{2r, 3r, 4r, 5r, \dots\}$.

Nota: Un conjunto es una colección de objetos tal que cada objeto aparece a lo más una vez dentro del conjunto. A estos objetos se les denomina elementos del conjunto.