OMCPLP 2025

Dados números reais $x, y$ e $z$, prove que $4x(y + z)(xy + xz + yz) + y^2z^2 \geq 0$.

Encontre todos os inteiros positivos $n$ e $p$ tais que $p$ é primo e $p^3 + (np)^2 + 1 = n^6$.

Resolva os itens a seguir:

a) Na figura ao lado, o triângulo $ABC$ é isósceles e retângulo em $B$. Os pontos $D, E$ e $F$ são os pontos de tangência da circunferência ex-inscrita com os lados do triângulo. Se a área do triângulo $DEF$ é $1\text{ cm}^2$, encontre a área do triângulo $ABC$.

b) No triângulo $ABC$ retângulo em $B$, se $AB = 3\text{ cm}$ e $BC = 4\text{ cm}$, encontre o valor de $\frac{S_1 + S_2}{S_3}$, onde $S_1, S_2$ e $S_3$ são as áreas conforme a figura a seguir:

Os reais positivos $a$ e $b$ são tais que

$$2a + b + \frac{4}{ab} = 10.$$

Encontre, com justificativa, o maior valor possível de $a$.

Em um triângulo $ABC$, $M$ é o ponto médio do lado $AC$ e $H$ é o ponto de interseção da reta perpendicular a $AB$ traçada por $C$ com o segmento $AB$. Prove que $CH$ passa pelo ponto médio do segmento $BM$ se, e somente se

$$3AC^2 = 3BC^2 + AB^2.$$

Em um tabuleiro $8 \times 8$, um sapo pula de casa em casa (sempre da casa em que está para uma casa que tenha um lado em comum com a mesma). Começando da casa de um dos cantos do tabuleiro, ele dá 64 saltos, de modo que visita todas as casas do tabuleiro e, por fim, retorna à casa inicial. A cada pulo, a distância do centro da casa em que o sapo está até o centro do tabuleiro é calculada. Um salto do sapo é considerado elegante se a distância ao centro, após o salto, diminuir. Calcule, com justificativa, o maior número possível de saltos elegantes dados pelo sapo.