IT-CESENATICO 2025 Problem 6

Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli di ampiezza positiva e minore di $90^\circ$. Una formica alfabetaria è un essere che avanza in linea retta sul piano. La formica è estremamente pesante, per cui non può essere spostata da un posto all'altro. Può solo essere ruotata in modo che rimanga nello stesso punto, ma sia orientata in una diversa direzione del piano. Possiamo scegliere noi i punti in cui avviene la rotazione (che possono essere tanti quanti ne vogliamo) e la nuova direzione in cui disporla in ciascuno di essi, ma questa è l'unica operazione concessa.

Quando viene ruotata, la formica si ferma un istante, e può decidere di mantenere la nuova direzione in cui è stata disposta, oppure di girare ulteriormente di $\alpha$ in senso orario, o di $\beta$ in senso antiorario; poi riprende la sua marcia. Se la formica ripassa per un punto in cui è stata ruotata in precedenza, se ne accorge, si spaventa, si ferma e non procede più.

Dimostrare che per ogni valore ammissibile di $\alpha$ e $\beta$ è sempre possibile fermare una formica alfabetaria con un numero finito di rotazioni.