IT-CESENATICO 2025

Per ogni intero positivo $n$, indichiamo con $s(n)$ la somma delle cifre di $n$ nell'usuale rappresentazione in base 10. Ad esempio, $s(7)=7$ e $s(10654)=16$.

(a) Determinare il più piccolo intero positivo $n$ tale che $n = 225 \cdot s(n)$.

(b) Determinare il più piccolo intero positivo $n$ tale che $n = 225 \cdot s(n)^2$.

Determinare per quali valori interi di $a$ l'insieme degli interi $x$ che soddisfano la disuguaglianza $$10x^2 + a \leq 33x$$ è costituito da esattamente un elemento.

Dato un intero positivo $n$, sia $p(n)$ il numero di primi distinti che dividono $n$. Ad esempio, $p(12)=2$ e $p(120)=3$. Un intero $n$ si dice bilanciato se $p(n)$ è pari, e sbilanciato se $p(n)$ è dispari.

Dimostrare che esistono infinite coppie di interi positivi consecutivi che sono entrambi bilanciati oppure entrambi sbilanciati.

Un insieme $S$ si dice annoso se è costituito da 2025 numeri reali positivi (distinti). Per ogni insieme annoso $S$, indichiamo con $d(S)$ il numero di potenze di 2, con esponenti interi positivi distinti, che si possono scrivere come somma di due elementi distinti di $S$.

Determinare il massimo di $d(S)$ al variare di $S$ tra tutti gli insiemi annosi.

Sia $ABC$ un triangolo e sia $D$ il piede della bisettrice uscente da $A$. L'asse del segmento $AD$ interseca la circonferenza circoscritta ad $ABC$ in $E$ ed $F$, con $E$ e $B$ che stanno da parti opposte rispetto alla retta $AD$. Sia $G$ l'intersezione tra $BE$ e $DF$, e sia $H$ l'intersezione tra $CF$ e $DE$.

Dimostrare che le rette $GH$ e $BC$ sono parallele.

Siano $\alpha$ e $\beta$ due angoli di ampiezza positiva e minore di $90^\circ$. Una formica alfabetaria è un essere che avanza in linea retta sul piano. La formica è estremamente pesante, per cui non può essere spostata da un posto all'altro. Può solo essere ruotata in modo che rimanga nello stesso punto, ma sia orientata in una diversa direzione del piano. Possiamo scegliere noi i punti in cui avviene la rotazione (che possono essere tanti quanti ne vogliamo) e la nuova direzione in cui disporla in ciascuno di essi, ma questa è l'unica operazione concessa.

Quando viene ruotata, la formica si ferma un istante, e può decidere di mantenere la nuova direzione in cui è stata disposta, oppure di girare ulteriormente di $\alpha$ in senso orario, o di $\beta$ in senso antiorario; poi riprende la sua marcia. Se la formica ripassa per un punto in cui è stata ruotata in precedenza, se ne accorge, si spaventa, si ferma e non procede più.

Dimostrare che per ogni valore ammissibile di $\alpha$ e $\beta$ è sempre possibile fermare una formica alfabetaria con un numero finito di rotazioni.