IT-CESENATICO 2022 Problem 6

Sia $ABC$ un triangolo non equilatero, e sia $R$ il raggio della sua circonferenza circoscritta. La circonferenza inscritta ad $ABC$ ha centro in $I$, ed è tangente al lato $CA$ nel punto $D$, ed al lato $CB$ nel punto $E$.

Sia $A_1$ il punto della retta $EI$ tale che $A_1I = R$, con $I$ che sta tra $A_1$ ed $E$. Sia $B_1$ il punto della retta $DI$ tale che $B_1I = R$, con $I$ che sta tra $B_1$ e $D$. Sia $P$ l'intersezione delle rette $AA_1$ e $BB_1$.

(a) Dimostrare che $P$ appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$.

(b) Supponiamo ora inoltre che $AB = 1$ e che $P$ coincida con $C$. Determinare i possibili valori del perimetro di $ABC$.