IT-CESENATICO 2022

Determinare per quali interi positivi $n$ esiste un intero positivo $A$ tale che

• $A$ è multiplo di 2022,
• l'espressione decimale di $A$ contiene solo cifre 0 e 7,
• l'espressione decimale di $A$ contiene esattamente $n$ volte la cifra 7.

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con $AB < AC$. Siano

• $D$ il piede della bisettrice dell'angolo in $A$,
• $E$ il punto del segmento $BC$ (diverso da $B$) tale che $AB = AE$,
• $F$ il punto del segmento $BC$ (diverso da $B$) tale che $BD = DF$,
• $G$ il punto del segmento $AC$ tale che $AB = AG$.

Dimostrare che la circonferenza circoscritta al triangolo $EFG$ è tangente alla retta $AC$.

Ad una gara matematica partecipano $n = 10\,000$ concorrenti.

Alla festa conclusiva, in successione, il primo prende $1/n$ della torta, il secondo prende $2/n$ della torta rimanente, il terzo prende $3/n$ della torta che rimane dopo che il primo e il secondo si sono serviti, e così via fino all'ultimo, che prende tutta la torta rimanente.

Determinare quale concorrente prende il pezzo di torta più grosso.

Il robot "Mag-o-matic" manipola 101 bicchieri, disposti in una fila le cui posizioni sono numerate da 1 a 101. In ognuno dei bicchieri può trovarsi, oppure no, una pallina. Il robot Mag-o-matic accetta solo istruzioni elementari della forma $(a; b, c)$, che interpreta come

"considera il bicchiere in posizione $a$: se contiene una pallina, allora scambia tra di loro i bicchieri che si trovano nelle posizioni $b$ e $c$ (con il relativo eventuale contenuto), altrimenti passa all'istruzione successiva"

(si intende che $a$, $b$, $c$ sono interi compresi tra 1 e 101, con $b$ e $c$ diversi tra di loro, ma non necessariamente diversi da $a$). Un programma è una sequenza finita di istruzioni elementari, assegnate inizialmente, che Mag-o-matic esegue una dopo l'altra.

Un sottoinsieme $S \subseteq \{0, 1, 2, \ldots, 101\}$ si dice identificabile se esiste un programma che, a partire da una qualunque configurazione iniziale, produce una configurazione finale in cui il bicchiere in posizione 1 contiene una pallina se e solo se il numero dei bicchieri contenenti una pallina è un elemento di $S$.

(a) Dimostrare che il sottoinsieme di $\{0, 1, \ldots, 101\}$ costituito dai numeri dispari è identificabile.

(b) Determinare tutti i sottoinsiemi di $\{0, 1, \ldots, 101\}$ identificabili.

Sia $ABC$ un triangolo non equilatero, e sia $R$ il raggio della sua circonferenza circoscritta. La circonferenza inscritta ad $ABC$ ha centro in $I$, ed è tangente al lato $CA$ nel punto $D$, ed al lato $CB$ nel punto $E$.

Sia $A_1$ il punto della retta $EI$ tale che $A_1I = R$, con $I$ che sta tra $A_1$ ed $E$. Sia $B_1$ il punto della retta $DI$ tale che $B_1I = R$, con $I$ che sta tra $B_1$ e $D$. Sia $P$ l'intersezione delle rette $AA_1$ e $BB_1$.

(a) Dimostrare che $P$ appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$.

(b) Supponiamo ora inoltre che $AB = 1$ e che $P$ coincida con $C$. Determinare i possibili valori del perimetro di $ABC$.