OIM 2024 Problem 1

Para cada inteiro positivo $n$, designamos por $d(n)$ o número de divisores positivos de $n$. Demonstre que para todo par de inteiros positivos $(a,b)$ se verifica que

$$d(a) + d(b) \leq d(\text{mdc}(a,b)) + d(\text{mmc}(a,b))$$

e determine os pares de inteiros positivos $(a,b)$ para os quais se verifica a igualdade.

Nota: $\text{mdc}(a,b)$ é o máximo divisor comum de $a$ e $b$, e $\text{mmc}(a,b)$ é o mínimo múltiplo comum de $a$ e $b$.