CONO-SUR 2025 Problem 6

Sejam $n \geq 2$ e $N = 2^n$. Seja $A_1, A_2, \ldots, A_N$ uma permutação (ordenação) de todos os subconjuntos de $X = \{1, 2, \ldots, n\}$. Determine o maior valor possível de

$$S = \sum_{i=1}^{N} |A_i \cap A_{i+1}| \cdot |A_i \cup A_{i+1}|$$

onde $A_{N+1} = A_1$.

Nota: $|B|$ denota a quantidade de elementos do conjunto $B$.