CIIM 2025 Problem 2

Sea $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dada por $F(x, y) = (x + y - x^3, y - y^3)$. Defina $F^1 = F$ y $F^{n+1} = F \circ F^n$ para $n \geq 1$.

a) Demuestre que si $|x| \leq 1/2$ y $|y| \leq 1/2$, entonces $\lim_{n \to \infty} F^n(x, y) = (0, 0)$.

b) Demuestre que para cualesquiera $K > 0$, $\varepsilon > 0$, existen un entero positivo $n$ y $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ con $0 < |(x_0, y_0)| < \varepsilon$ tales que $|F^n(x_0, y_0)| > K|(x_0, y_0)|$.