CIIM 2025 Problem 1

Considere dos conjuntos $P, Q \subseteq \mathbb{R}^2$ que satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. $(n, 1) \in P$ para todo $n \in \mathbb{Z}$.
2. Si $(a, b) \in P$, entonces $(a, 0) \in Q$.
3. Si un trapecio tiene dos lados paralelos al eje-$Y$, además de dos vértices en $P$ y los otros vértices en $Q$, entonces el punto de intersección de sus diagonales también está en $P$.

Demuestre que $Q \times \{0\} \subseteq Q$.