CIIM 2025

Considere dos conjuntos $P, Q \subseteq \mathbb{R}^2$ que satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. $(n, 1) \in P$ para todo $n \in \mathbb{Z}$.
2. Si $(a, b) \in P$, entonces $(a, 0) \in Q$.
3. Si un trapecio tiene dos lados paralelos al eje-$Y$, además de dos vértices en $P$ y los otros vértices en $Q$, entonces el punto de intersección de sus diagonales también está en $P$.

Demuestre que $Q \times \{0\} \subseteq Q$.

Sea $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dada por $F(x, y) = (x + y - x^3, y - y^3)$. Defina $F^1 = F$ y $F^{n+1} = F \circ F^n$ para $n \geq 1$.

a) Demuestre que si $|x| \leq 1/2$ y $|y| \leq 1/2$, entonces $\lim_{n \to \infty} F^n(x, y) = (0, 0)$.

b) Demuestre que para cualesquiera $K > 0$, $\varepsilon > 0$, existen un entero positivo $n$ y $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ con $0 < |(x_0, y_0)| < \varepsilon$ tales que $|F^n(x_0, y_0)| > K|(x_0, y_0)|$.

Sea $E$ una elipse con semiejes $a > b$ y sea $B$ un extremo del eje menor de la elipse. Para todo punto $P$ de la elipse, defina $m(P)$ como la mayor distancia de $P$ a cualquier otro punto de la elipse; es decir, defina la función

$$m(P) = \max_{Q \in E} PQ,$$

donde $PQ$ denota la distancia de $P$ a $Q$.

a) Demuestre que $m(B) \leq m(P)$ para todo punto $P$ de la elipse.

b) Determine el valor de $m(B)$ en términos de $a$ y $b$.

Determine infinitas funciones diferenciables $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tales que $f(20, 25) = 2025$ y para cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}$ se cumple que

$$(f(x, y))^3 + (f_x(x, y))^3 + (f_y(x, y))^3 = 3f(x, y)f_x(x, y)f_y(x, y).$$

Nota: $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$ y $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$.

Sea $n$ un entero positivo. En el espacio de matrices $n \times n$ con entradas reales, considere el subconjunto $M_n$ de las matrices con entradas en el conjunto $\{-1, 1\}$. Demuestre que al menos el 25% de las matrices en $M_n$ es invertible.

Demuestre que existen números reales positivos $C$ y $t$, con $t > 1$, tales que si $n \geq 2$ y $S$ es un conjunto de $2n$ puntos del plano en posición general, con $n$ puntos rojos y $n$ puntos azules, entonces hay al menos $Cn^t$ triángulos con dos vértices rojos y un vértice azul cuyo interior no contiene ningún punto de $S$.

Nota: Un conjunto de puntos en el plano se dice en posición general si no hay tres de estos puntos colineales.