CIIM 2022 Problem 2

Sea $v \in \mathbb{R}^2$ un vector de longitud 1 y sea $A$ una matriz $2 \times 2$ con entradas reales tal que:

(i) Los vectores $Av, A^2v$ y $A^3v$ también son de longitud 1.

(ii) El vector $A^2v$ no es igual ni a $\pm v$ ni a $\pm Av$.

Demostrar que $A^tA = I_2$.

Nota: $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$.