CIIM 2024 Problem 2

Sea $n$ un entero positivo y sea $M_n$ el conjunto de matrices invertibles, con entradas enteras y tamaño $n \times n$.

a) Hallar el mayor valor posible de $n$ tal que existe una matriz simétrica $A \in M_n$ que satisface:

$$\det(A^{20} + A^{24}) < 2024.$$

b) Demostrar que para todo $n$ existe una matriz $B \in M_n$ tal que:

$$\det(B^{20} + B^{24}) < 2024.$$