CIIM 2022

Dada la función $f(x) = x^2$, se define el sector de $f$ desde $a$ hasta $b$ como la región acotada entre la gráfica de $y = f(x)$ y el segmento de recta que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$. Se define la sucesión creciente $x_0, x_1, \ldots$, con $x_0 = 0$ y $x_1 = 1$, que cumple que el área del sector de $f$ desde $x_n$ hasta $x_{n+1}$ es constante para $n \geq 0$. Determinar el valor de $x_n$ en función de $n$.

Sea $v \in \mathbb{R}^2$ un vector de longitud 1 y sea $A$ una matriz $2 \times 2$ con entradas reales tal que:

(i) Los vectores $Av, A^2v$ y $A^3v$ también son de longitud 1.

(ii) El vector $A^2v$ no es igual ni a $\pm v$ ni a $\pm Av$.

Demostrar que $A^tA = I_2$.

Nota: $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$.

Danielle dibuja en el plano un punto $O$ y un conjunto de puntos $\mathcal{P} = \{P_0, P_1, \ldots, P_{2022}\}$ tales que

$$\angle P_0OP_1 = \angle P_1OP_2 = \cdots = \angle P_{2021}OP_{2022} = \alpha, \quad 0 < \alpha < \pi,$$

donde los ángulos se miden en sentido antihorario, y para $0 \leq n \leq 2022$ se cumple que $OP_n = r^n$ con $r > 1$ un número real dado. Luego obtiene nuevos conjuntos de puntos en el plano iterando el siguiente proceso: dado un conjunto de puntos $\{A_0, A_1, \ldots, A_n\}$ en el plano, construye un nuevo conjunto de puntos $\{B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}\}$ de modo que $A_kA_{k+1}B_k$ sea un triángulo equilátero orientado en sentido horario para $0 \leq k \leq n-1$. Después de realizar el proceso 2022 veces a partir del conjunto $\mathcal{P}$, Danielle obtiene un único punto $X$. Si $d$ es la distancia de $X$ al punto $O$, demostrar que

$$(r-1)^{2022} \leq d \leq (r+1)^{2022}.$$

Dado un entero positivo $n$, determinar cuántas permutaciones $\sigma$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, 2022n\}$ tienen la siguiente propiedad: para cada $i \in \{1, 2, \ldots, 2021n + 1\}$, el número

$$\sigma(i) + \sigma(i + 1) + \cdots + \sigma(i + n - 1)$$

es múltiplo de $n$.

Se define en el plano la sucesión de vectores $v_1, v_2, \ldots$, mediante los valores iniciales $v_1 = (1, 0)$, $v_2 = (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ y la relación

$$v_n = \frac{v_{n-1} + v_{n-2}}{\|v_{n-1} + v_{n-2}\|},$$

para $n \geq 3$. Demostrar que la sucesión es convergente y determinar su límite.

Nota: La expresión $\|v\|$ denota la longitud del vector $v$.

Dado un entero positivo $m$, sea $d(m)$ la cantidad de divisores positivos de $m$. Demostrar que para todo entero positivo $n$ se cumple que

$$d((n + 1)!) \leq 2d(n!).$$