CIIM 2022 Problem 3

Danielle dibuja en el plano un punto $O$ y un conjunto de puntos $\mathcal{P} = \{P_0, P_1, \ldots, P_{2022}\}$ tales que

$$\angle P_0OP_1 = \angle P_1OP_2 = \cdots = \angle P_{2021}OP_{2022} = \alpha, \quad 0 < \alpha < \pi,$$

donde los ángulos se miden en sentido antihorario, y para $0 \leq n \leq 2022$ se cumple que $OP_n = r^n$ con $r > 1$ un número real dado. Luego obtiene nuevos conjuntos de puntos en el plano iterando el siguiente proceso: dado un conjunto de puntos $\{A_0, A_1, \ldots, A_n\}$ en el plano, construye un nuevo conjunto de puntos $\{B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}\}$ de modo que $A_kA_{k+1}B_k$ sea un triángulo equilátero orientado en sentido horario para $0 \leq k \leq n-1$. Después de realizar el proceso 2022 veces a partir del conjunto $\mathcal{P}$, Danielle obtiene un único punto $X$. Si $d$ es la distancia de $X$ al punto $O$, demostrar que

$$(r-1)^{2022} \leq d \leq (r+1)^{2022}.$$