OBM 2026

Seja $ABC$ um triângulo tal que $\angle BAC = 60^\circ$ e $AB < AC$. Sejam $O$ e $I$ o circuncentro e o incentro do triângulo $ABC$, respectivamente, e seja $T$ o ortocentro do triângulo $BIC$.

a) Prove que os quatro pontos $B$, $C$, $O$ e $I$ pertencem a uma mesma circunferência.

b) Prove que as retas $BC$, $OI$ e $AT$ possuem um ponto em comum.

Observação: o incentro de um triângulo é o encontro das bissetrizes de seus ângulos internos, o circuncentro de um triângulo é o encontro das mediatrizes de seus lados e o ortocentro de um triângulo é o encontro das suas alturas.

Seja $p$ um número primo ímpar. Determine o menor inteiro positivo $k$ tal que existe um inteiro positivo $n$ de modo que, quando os números $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{k}$ são divididos por $p$, cada um dos restos $0, 1, \dots, p-1$ aparece pelo menos uma vez.

Observação: Para inteiros não negativos $a$ e $b$, definimos

$$\binom{a}{b} = \begin{cases} 0 & \text{se } a < b \\ \frac{a!}{b!(a-b)!} & \text{se } a \geq b \end{cases}.$$

Para cada permutação $a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2026})$ de $(1, 2, 3, \dots, 2026)$, considere os números a seguir:

$$\begin{aligned} &a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \cdots + 2025a_{2025} + 2026a_{2026}, \\ &a_2 + 2a_3 + 3a_4 + \cdots + 2025a_{2026} + 2026a_1, \\ &\qquad\vdots \\ &a_{2026} + 2a_1 + 3a_2 + \cdots + 2025a_{2024} + 2026a_{2025}. \end{aligned}$$

Defina $f(a)$ como a quantidade de números distintos entre as 2026 somas acima. Qual o menor valor possível para $f(a)$ quando $a$ varia sobre todas as permutações de $(1, 2, 3, \dots, 2026)$?

Para $n$ inteiro positivo, defina

$$f(n) = \left\lfloor \sqrt{(n+1)^3} \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt{n^3} \right\rfloor.$$

Prove que existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $f(n+1) < f(n)$.

Observação: para um número real $x$, define-se $\lfloor x \rfloor$ como o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$, $\left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1$ e $\left\lfloor \sqrt{14} \right\rfloor = 3$.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo. Seja $M$ o ponto médio do lado $BC$ e sejam $D$ e $E$ pontos nos lados $AB$ e $AC$, respectivamente, de modo que $MD = ME$. A reta perpendicular por $D$ a $AB$ intersecta a reta perpendicular por $E$ a $AC$ em $P$. Sejam $R$ e $S$ as reflexões de $P$ por $AB$ e $AC$, respectivamente. As retas $BR$ e $CS$ se intersectam em $Q$. Sejam $K$ e $L$ as projeções ortogonais de $Q$ em $AB$ e $AC$, respectivamente. Prove que $DL = EK$.