OBM 2025 Problem 1

Prove que existe um inteiro positivo $n$ e $2n$ números reais não negativos

$$0 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots \le a_n \quad \text{e} \quad 0 \le b_1 \le b_2 \le b_3 \le \ldots \le b_n$$

satisfazendo as três propriedades a seguir:

(i) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \ge 2025^{2025}$;

(ii) $b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ge 2025^{2025}$;

(iii) $c_1 + c_2 + \cdots + c_n \le \dfrac{1}{2025^{2025}}$, onde $c_i = \min\{a_i, b_i\}$ para todo $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$.

Além disso, encontre o menor inteiro positivo $n$ com tal propriedade.