OBM 2025 Problem 6

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo satisfazendo $90^\circ > \angle ABC > \angle CDA > \angle DAB$. Seja $\mathcal{R}$ o conjunto de todas as retas $\ell$ tais que existe uma circunferência tangente às quatro reflexões de $\ell$ pelos quatro lados do quadrilátero $ABCD$. Prove que $\mathcal{R}$ pode ser particionado em 8 conjuntos de modo que as retas de cada conjunto sejam todas concorrentes ou todas paralelas.