OBM 2024

Seja $a_1$ um inteiro maior ou igual a 2. Considere a sequência tal que o seu primeiro termo é $a_1$ e, sendo $a_n$ o $n$-ésimo termo da sequência, vale que

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{p_k^{e_k-1}} + 1,$$

em que $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ é a fatoração em primos de $a_n$, com $1 < p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ e $e_1, e_2, \ldots, e_k$ inteiros positivos. Por exemplo, se $a_1 = 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$, os próximos dois termos da sequência são

$$a_2 = \frac{a_1}{23^{1-1}} + 1 = \frac{2024}{1} + 1 = 2025 = 3^4 \cdot 5^2;$$

$$a_3 = \frac{a_2}{5^{2-1}} + 1 = \frac{2025}{5} + 1 = 406.$$

Determine para quais valores de $a_1$ a sequência é eventualmente periódica e quais são todos os possíveis períodos.

Observação: Sendo $p$ um inteiro positivo, uma sequência $x_1, x_2, \ldots$ é eventualmente periódica com período $p$ se $p$ é o menor inteiro positivo para o qual existe um $N \geq 0$ satisfazendo $x_{n+p} = x_n$ para todo $n > N$.

Uma partição de um conjunto $A$ é uma família de subconjuntos não vazios de $A$, de modo que quaisquer dois subconjuntos distintos da família são disjuntos e a união de todos os subconjuntos é igual a $A$. Dizemos que uma partição de um conjunto de inteiros $B$ é afastada se cada subconjunto que compõe a partição não contém inteiros consecutivos. Prove que, para todo inteiro positivo $n$, a quantidade de partições do conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ é igual a quantidade de partições afastadas do conjunto $\{1, 2, \ldots, n, n+1\}$.

Por exemplo, $\big\{\{1,3\},\{2\}\big\}$ é uma partição afastada do conjunto $\{1,2,3\}$. Por outro lado, $\big\{\{1,2\},\{3\}\big\}$ é uma partição do mesmo conjunto, mas que não é afastada pois $\{1,2\}$ contém inteiros consecutivos.

Seja $n \geq 3$ um inteiro positivo. Em um polígono convexo de $n$ lados, todas as bissetrizes internas de seus $n$ ângulos internos são traçadas. Determine, em função de $n$, o menor número possível de retas distintas determinadas por essas bissetrizes.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e escaleno. Seja $D$ um ponto no interior do segmento $BC$ tal que $D$ é diferente do pé da altura por $A$. As retas tangentes por $A$ e $B$ à circunferência circunscrita ao triângulo $ABD$ se encontram em $O_1$ e as retas tangentes por $A$ e $C$ à circunferência circunscrita ao triângulo $ACD$ se encontram em $O_2$. Mostre que a circunferência de centro $O_1$ que passa por $A$, a circunferência de centro $O_2$ que passa por $A$ e a reta $BC$ têm um ponto em comum.

Seja $\mathbb{R}$ o conjunto dos números reais. Determine todas as funções $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tais que, para quaisquer reais $x$ e $y$,

$$f(x^2y - y) = f(x)^2 f(y) + f(x)^2 - 1.$$

Seja $n > 1$ um inteiro positivo. Enumere em ordem crescente todas as frações irredutíveis do intervalo $[0,1]$ que têm denominador positivo e menor ou igual a $n$:

$$\frac{0}{1} = \frac{p_0}{q_0} < \frac{p_1}{q_1} < \cdots < \frac{p_M}{q_M} = \frac{1}{1}.$$

Determine, em função de $n$, o menor valor possível de $q_{i-1} + q_i + q_{i+1}$, $0 < i < M$.

Por exemplo, se $n = 4$, a enumeração é

$$\frac{0}{1} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{1}{1},$$

onde $p_0 = 0$, $p_1 = 1$, $p_2 = 1$, $p_3 = 1$, $p_4 = 2$, $p_5 = 3$, $p_6 = 1$, $q_0 = 1$, $q_1 = 4$, $q_2 = 3$, $q_3 = 2$, $q_4 = 3$, $q_5 = 4$, $q_6 = 1$ e o mínimo procurado é $1 + 4 + 3 = 3 + 2 + 3 = 3 + 4 + 1 = 8$.