TR-MO 2024

$n \geq 3$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n$ köşeli bir tam çizgenin her kenarına birer gerçel sayı aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde yazılmıştır:

(i) Çizgedeki her üçgenin kenarlarına yazılan sayılardan ikisi birbirine eşit olup diğer sayı ise bu sayılardan büyüktür.

(ii) Her köşenin ağırlığı, o köşeden çıkan kenarlara yazılan sayıların toplamı olmak üzere, tüm köşelerin ağırlıkları birbirlerine eşittir.

Buna göre, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve $A$, $B$, $C$ köşelerinden indirilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ olsun. $DEF$ üçgeninin çevrel çemberine $D$ noktasında teğet olan bir çemberin $EF$ doğrusu ile kesiştiği noktalar $P$ ve $Q$ olsun. $PH$ ve $QH$ doğruları ile $BHC$ üçgeninin çevrel çemberinin ikinci kesişim noktaları sırasıyla $R$ ve $S$ olsun. $A$ noktasından geçen ve $EF$ doğrusuna dik olan doğrunun $BC$ doğrusu ile kesiştiği nokta $T$ olsun. $R$, $S$, $D$, $T$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Her $n \geq 2$ tam sayısı için $f(n)$ ile $n$ sayısının farklı asal bölenlerinin çarpımını gösterelim (örneğin, $f(5) = 5, f(8) = 2$ ve $f(12) = 6$ olur). $a_1, a_2, \ldots$ dizisi, $a_1 \geq 2$ bir tam sayı ve her $n \geq 1$ için

$$a_{n+1} = a_n + f(a_n)$$

olacak şekilde tanımlanıyor. Her $p$ asal sayısı için, $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ dizisininde $p$ ile bölünen bir terim bulunduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı ve $n$ sayısının tüm pozitif bölenleri $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ olsun.

$$\begin{aligned} 2d_2 + d_4 + d_5 &= d_7 \\ d_3 d_6 d_7 &= n \\ (d_6 + d_7)^2 &= n + 1 \end{aligned}$$

eşitlikleri sağlanıyorsa, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Her $x, y, z \in \mathbb{R}^+$ için

$$\left\{ \frac{f(x)}{f(y)} \right\} + \left\{ \frac{f(y)}{f(z)} \right\} + \left\{ \frac{f(z)}{f(x)} \right\} = \left\{ \frac{x}{y} \right\} + \left\{ \frac{y}{z} \right\} + \left\{ \frac{z}{x} \right\}$$

denklemini sağlayan tüm $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

Not. Bir $x$ gerçel sayısı için, $\lfloor x \rfloor$ sayısı $x$ in tam değeri olmak üzere, $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ olarak tanımlanıyor: $\{2.7\} = 0.7$ ve $\{4\} = 0$.

$m, n \geq 2$ tam sayılar olmak üzere, $m \times n$ satranç tahtasının bazı birim karelerine birer kale, her kale tek sayıda kale tarafından tehdit edilecek şekilde yerleştirilmiştir. Buna göre, satranç tahtasının üzerindeki kale sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.