TR-MO 2004

$m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesine ait yükseklik, açıortay ve kenarortayın ayakları, sırasıyla, $H$, $L$ ve $D$ noktalarıdır. $m(\widehat{HAL}) = m(\widehat{DAL})$ olması için gerek ve yeter koşulun, $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ olması olduğunu kanıtlayınız.

Bir ülkedeki 80 kentten bazıları arasında karşılıklı uçak seferleri yapılmaktadır. Her kentten en az 7 başka kente doğrudan uçak seferi bulunmakta olup, herhangi bir kentten bir diğerine doğrudan ya da sonlu sayıda aktarma yaparak uçakla ulaşmak mümkündür. Karşılıklı uçak seferleri hangi kentler arasında düzenlenmiş olursa olsun, herhangi bir kentten bir diğerine en çok $k$ aktarmayla ulaşılmasını olanaklı kılan en küçük $k$ sayısını bulunuz.

a. $n^2-1$, $n^2-2$ ve $n^2-3$ sayılarından her biri için, bu sayının pozitif bölenlerinin sayısını 10 yapan bir $n$ tam sayısı bulunuz.

b. $n^2-4$ ün pozitif bölenlerinin sayısının, $n$ tam sayısının hiçbir değeri için 10 olamayacağını gösteriniz.

$\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesini göstermek üzere, tüm $m, n \in \mathbb{Z}$ için,

$$f(n) - f(n + f(m)) = m$$

koşulunu sağlayan bütün $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin, $[BC]$ kenarına ait dışteğet çemberinin, $BC$, $CA$ ve $AB$ doğrularına değme noktaları, sırasıyla, $A_1$, $B_1$ ve $C_1$; $[CA]$ kenarına ait dışteğet çemberinin, aynı doğrulara değme noktaları, yine sırasıyla, $A_2$, $B_2$ ve $C_2$; $[AB]$ kenarına ait dışteğet çemberinin, aynı doğrulara değme noktaları, yine sırasıyla, $A_3$, $B_3$ ve $C_3$ olsun. $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ ve $A_3B_3C_3$ üçgenlerinin çevrelerinin toplamının, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapına oranının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

$n, m \geq 0$ tam sayıları için, $K(n, 0) = \phi$ ve

$$K(n, m+1) = \{\, k \mid 1 \leq k \leq n \ \text{ ve } \ K(k, m) \cap K(n-k, m) = \phi \,\}$$

ise, $K(2004, 2004)$ kümesinin eleman sayısını bulunuz.