OMM 2010 Problem 4

Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n \times 4$, cada renglón es igual a

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2 & 0 & 1 & 0 \\ \hline\end{array}$$

Un cambio es tomar tres casillas

a) consecutivas en el mismo renglón y

b) con dígitos distintos escritos en ellas

y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera

$$0 \to 1, \quad 1 \to 2, \quad 2 \to 0.$$

Por ejemplo, un renglón $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2 & 0 & 1 & 0 \\ \hline\end{array}$ puede cambiarse al renglón $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 0 & 1 & 2 & 0 \\ \hline\end{array}$ pero no al renglón $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}$ pues 0, 1 y 0 no son distintos entre sí.

Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún a renglones ya cambiados. Muestra que para $n < 12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.