IT-CESENATICO 2024

Jack scrive sulla lavagna il numero $x_0 = 2024^{2024}$.

Successivamente lo cancella e scrive al suo posto $x_1 = |x_0 - \pi|$. Poi cancella $x_1$ e scrive al suo posto $x_2 = |x_1 - \pi|$, e così via. In altri termini, ad ogni mossa Jack cancella il numero $x_n$ scritto precedentemente e lo sostituisce con $x_{n+1} = |x_n - \pi|$.

Dimostrare che esiste un valore di $n$ tale che $x_{n+2} = x_n$.

Sia dato un quadrato di lato unitario nel piano. Un punto $M$ del piano di dice mediano se esistono due punti $P$ e $Q$, appartenenti al bordo del quadrato, tali che

• il segmento $PQ$ ha lunghezza unitaria,
• $M$ è il punto medio di $PQ$.

Determinare l'insieme costituito da tutti e soli i punti mediani.

Un intero $n$ si definisce egiziano se esiste una sequenza di interi positivi strettamente crescente $0 < a_1 < a_2 < \ldots < a_k = n$ (quindi l'ultimo termine della sequenza è $n$) tale che

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$$

(a) Determinare se il numero $n = 72$ è egiziano.

(b) Determinare se il numero $n = 71$ è egiziano.

(c) Determinare se il numero $n = 72^{71}$ è egiziano.

Sia $ABCD$ un rettangolo con $AB < BC$, inscritto in una circonferenza $\Gamma$. Siano $P$ sull'arco $BC$ (non contenente $A$) e $Q$ sull'arco $CD$ (non contenente $A$) tali che $BP = CQ$.

La circonferenza di diametro $AQ$ interseca nuovamente la retta $AP$ in $S$. La retta per $B$ e perpendicolare ad $AQ$ interseca la retta $AP$ in $X$.

(a) Dimostrare che $XS = PS$.

(b) Dimostrare che $AX = DQ$.

Per ogni intero positivo $n$, determinare il più piccolo numero reale $M_n$ tale che

$$\frac{1}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} \le M_n$$

per ogni $n$-upla $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ di numeri interi tali che $1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.