IT-CESENATICO 2008 Problem 5

Sia $ABC$ un triangolo con tutti gli angoli maggiori di $45^\circ$ e minori di $90^\circ$.

(a) Dimostrare che si possono disporre all'interno di $ABC$ tre quadrati con le seguenti proprietà:

• i tre quadrati hanno tutti lo stesso lato;
• i tre quadrati hanno un vertice comune $K$ interno al triangolo;
• due quadrati qualsiasi non hanno punti in comune oltre a $K$;
• ciascuno dei quadrati ha due vertici opposti sul perimetro di $ABC$ e per il resto è tutto all'interno del triangolo $ABC$.

(b) Sia $P$ il centro del quadrato con lato $AB$ ed esterno ad $ABC$. Sia $r_C$ la simmetrica della retta passante per $C$ e $K$ rispetto alla bisettrice di $A\widehat{C}B$ uscente da $C$. Dimostrare che $P$ appartiene ad $r_C$.