OIM 2023 Problem 6

Seja $P$ um polinômio de grau maior ou igual a 4 com coeficientes inteiros. Um inteiro positivo $x$ chama-se $P$-representável se existem números inteiros $a$ e $b$ tais que $x = P(a) - P(b)$. Demonstre que, se para todo $N \geq 0$ mais da metade dos inteiros do conjunto $\{0, 1, \ldots, N\}$ são $P$-representáveis, então todos os inteiros pares são $P$-representáveis ou todos os inteiros ímpares são $P$-representáveis.