OIM 2023

Seja $n$ um inteiro positivo. Realizam-se as 35 multiplicações:

$$1 \cdot n, 2 \cdot n, \ldots, 35 \cdot n$$

Demonstre que em algum destes resultados aparece ao menos uma vez o dígito 7.

Seja $\mathbb{Z}$ o conjunto dos inteiros. Encontre todas as funções $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tais que:

$$2023f(f(x)) + 2022x^2 = 2022f(x) + 2023[f(x)]^2 + 1$$

para todo inteiro $x$.

Ana e Beto jogam com uma balança de dois pratos. Há 2023 caixas etiquetadas com seus pesos, que são os números 1, 2, ..., 2023, sem repetição. Cada jogador, em seu turno, escolhe uma caixa que ainda não estava colocada na balança e a coloca no prato com menor peso no momento. Se a balança está em equilíbrio, a coloca em qualquer prato. Ana começa o jogo e seguem dessa maneira alternadamente até colocar todas as caixas. Ana ganha se, no final, a balança se encontra equilibrada. Caso contrário, Beto ganha. Determine qual dos jogadores tem uma estratégia ganhadora e descreva a estratégia.

Sejam $B$ e $C$ dois pontos fixos no plano. Para cada ponto $A$ do plano, fora da reta $BC$, seja $G$ o baricentro do triângulo $ABC$. Determine o lugar geométrico dos pontos $A$ tais que $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$.

Nota: O lugar geométrico é o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a propriedade.

Uma sequência $P_1, \ldots, P_n$ de pontos no plano (não necessariamente distintos) é carioca se existe uma permutação $a_1, \ldots, a_n$ dos números $1, \ldots, n$ para a qual os segmentos

$$P_{a_1}P_{a_2}, P_{a_2}P_{a_3}, \ldots, P_{a_n}P_{a_1}$$

têm todos o mesmo comprimento.

Determine o maior número $k$ tal que para qualquer sequência de $k$ pontos no plano é possível adicionar $2023 - k$ pontos de modo que a sequência de 2023 pontos seja carioca.

Seja $P$ um polinômio de grau maior ou igual a 4 com coeficientes inteiros. Um inteiro positivo $x$ chama-se $P$-representável se existem números inteiros $a$ e $b$ tais que $x = P(a) - P(b)$. Demonstre que, se para todo $N \geq 0$ mais da metade dos inteiros do conjunto $\{0, 1, \ldots, N\}$ são $P$-representáveis, então todos os inteiros pares são $P$-representáveis ou todos os inteiros ímpares são $P$-representáveis.