DE-BUNDESWETTBEWERB 2025 Problem 2

Für jede ganze Zahl $n \geq 2$ betrachten wir in der Dezimaldarstellung von $n!$ die letzte von Null verschiedene Ziffer. Die unendliche Folge dieser Ziffern beginnt wegen $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$ und $6! = 720$ mit $2, 6, 4, 2, 2$.

Bestimme alle Ziffern, die mindestens einmal in dieser Folge vorkommen, und zeige, dass jede dieser Ziffern sogar unendlich oft vorkommt.

Anmerkungen: $n!$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$.