CIIM 2024

Sea $(a_n)_{n \geq 1}$ una sucesión de números reales. Se define la sucesión de funciones reales $(f_n)_{n \geq 0}$ tal que para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple que:

$$f_0(x) = 1 \quad \text{y} \quad f_n(x) = \int_{a_n}^{x} f_{n-1}(t) \, dt \quad \text{para } n \geq 1.$$

Determinar todas las posibles sucesiones $(a_n)_{n \geq 1}$ tales que $f_n(0) = 0$ para todo $n \geq 2$.

Nota: No necesariamente se cumple que $f_1(0) = 0.$

Sea $n$ un entero positivo y sea $M_n$ el conjunto de matrices invertibles, con entradas enteras y tamaño $n \times n$.

a) Hallar el mayor valor posible de $n$ tal que existe una matriz simétrica $A \in M_n$ que satisface:

$$\det(A^{20} + A^{24}) < 2024.$$

b) Demostrar que para todo $n$ existe una matriz $B \in M_n$ tal que:

$$\det(B^{20} + B^{24}) < 2024.$$

Dado un entero positivo $n$, sea $\phi(n)$ el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ que son primos relativos con $n$. Hallar todos los posibles enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ tales que:

$$\left\lfloor \frac{\phi(a_1)}{a_1} + \frac{\phi(a_2)}{a_2} + \cdots + \frac{\phi(a_k)}{a_k} \right\rfloor = 2024.$$

Nota: La función $\lfloor x \rfloor$ denota al mayor entero menor o igual que $x$.

Dados los puntos $O = (0, 0)$ y $A = (2024, -2024)$ en el plano. Para $n$ entero positivo, Damián dibuja todos los puntos de coordenadas enteras $B_{i,j} = (i,j)$ con $0 \leq i,j \leq n$ y calcula el área de cada triángulo $OAB_{i,j}$. Sea $S(n)$ la suma de las $(n+1)^2$ áreas calculadas anteriormente. Hallar el siguiente límite:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{n^3}.$$

Un tablero $3 \times N$ tiene inicialmente todas sus casillas pintadas de blanco. Sea $a(N)$ el número máximo de casillas que se pueden pintar de negro de manera que no haya tres casillas consecutivas (de forma horizontal, vertical o diagonal) pintadas de color negro. Demostrar que $\lim_{N \to \infty} \frac{a(N)}{N}$ existe y determinar su valor.

Dado un número real $x$, se define la serie

$$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \{n! \cdot x\},$$

donde $\{s\} = s - \lfloor s \rfloor$ es la parte fraccionaria del número $s$. Determinar si existe algún número irracional $x$ para el cual $S(x)$ converge.