OBM 2018 Problem 3

Sejam $k, n$ inteiros positivos fixados. Em uma mesa circular, são colocados $n$ pinos numerados sucessivamente com os números $1, \ldots, n$, com $1$ e $n$ vizinhos. Sabe-se que o pino $1$ é dourado e os demais são brancos. Arnaldo e Bernaldo jogam um jogo, em que uma argola é colocada inicialmente em um dos pinos e a cada passo ela muda de posição. O jogo começa com Bernaldo escolhendo um pino inicial para a argola, e o primeiro passo consiste no seguinte: Arnaldo escolhe um inteiro positivo $d$ qualquer e Bernaldo desloca a argola $d$ pinos no sentido horário ou no sentido anti-horário (as posições são consideradas módulo $n$, ou seja, os pinos $x, y$ são iguais se e somente se $n$ divide $x - y$). Após isso, a argola muda de pinos de acordo com uma das seguintes regras, a ser escolhida em cada passo por Arnaldo: