OBM 2021 Problem 6

Seja $n \ge 5$ inteiro. O polígono convexo $P = A_1A_2\dots A_n$ é bicêntrico, ou seja, tem círculo inscrito e circunscrito. Defina $A_{i+n} = A_i$ para todo $i$ inteiro (ou seja, todos os índices são tomados módulo $n$). Suponha que para todo $i$, $1 \le i \le n$, as semirretas $A_{i-1}A_i$ e $A_{i+2}A_{i+1}$ se encontram no ponto $B_i$. Seja $\omega_i$ o circuncírculo de $B_iA_iA_{i+1}$. Prove que existe um círculo tangente simultaneamente a todos os $n$ círculos $\omega_i$, $1 \le i \le n$.