OBM 2010 Problem 4

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo e $M$ e $N$ os pontos médios dos lados $CD$ e $AD$, respectivamente. As retas perpendiculares a $AB$ passando por $M$ e a $BC$ passando por $N$ cortam-se no ponto $P$. Prove que $P$ pertence à diagonal $BD$ se, e somente se, as diagonais $AC$ e $BD$ são perpendiculares.