TR-MO 2025

$a$, $b$, $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

$$2^a + a^2 - b^2,\ 2^b + b^2 - c^2 \ \text{ ve } \ 2^c + c^2 - a^2$$

sayılarının üçünün de tamkare olmasını sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m \times n$ satranç tahtası, bu tahtanın birim karelerinden oluşan $1 \times 2$ ve $2 \times 1$ dikdörtgenlerle, herhangi iki dikdörtgen ortak birim kare içermeyecek şekilde tamamen kaplanmıştır. $1 \times 2$ dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler kırmızıya, $2 \times 1$ dikdörtgenlerin kapladığı birim kareler maviye boyanıyor. Bu satranç tahtasında bir tarafı mavi bir tarafı kırmızı olan birim kenarların sayısının çift olduğunu gösteriniz.

$a$ ve $b$ verilmiş gerçel sayılar olsun. Her $x, y \in \mathbb{R}$ için

$$f(x + f^{100}(y) + a) = y + f^{2025}(x) + b$$

koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Not. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $f^k(x) = \underbrace{f(f(\cdots f}_{k \text{ kez}}(x)))$ olarak tanımlanıyor.

$a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ gerçel sayılar olmak üzere, her $1 \le i < j \le 2025$ için, birinci tahtaya $1 - |a_i - a_j|$ sayısı, ikinci tahtaya $|a_i + a_j| - 1$ sayısı yazılıyor. Hangi $(a_1, a_2, \cdots, a_{2025})$ 2025-lileri için, her gerçel sayı her iki tahtaya da eşit sayıda yazılır?

Bir $ABC$ üçgeninde $A$, $B$, $C$ noktalarından indirilen yükseklik ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ ve diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasından geçen bir $\ell$ doğrusu $EF$, $DF$, $DE$ doğruları ile sırasıyla $X$, $Y$, $Z$ noktalarında kesişiyor. $XBF$ ve $XCE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $A_1$, $YCD$ ve $YAF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $B_1$, $ZAE$ ve $ZBD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kesişim noktası $C_1$ olsun. $A_1D$, $B_1E$ ve $C_1F$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

İki tamkarenin toplamı şeklinde yazılabilen sayıların kümesi $\mathcal{S}$ olsun. Tam sayı katsayılı bir $P$ polinomu, her $n$ negatif olmayan tam sayısı için

$$P(n) \in \mathcal{S} \iff n \in \mathcal{S}$$

koşulunu sağlıyorsa, $P$ polinomunun derecesinin tek olduğunu gösteriniz.