OMM 2024

Determina todas las parejas $(a, b)$ de enteros que satisfacen

• $5 \leq b < a$,
• Existe un número natural $n$ tal que los números $\frac{a}{b}$ y $a - b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden.

Nota. Dos enteros positivos $x, y$ son divisores consecutivos de $m$, en ese orden, si no existe un divisor $d$ de $m$ tal que $x < d < y$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ y $F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD$, $DE, EF$ y $FA$, respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ y $F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

• El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales y
• $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360^\circ$, donde todos los ángulos son menores a $180^\circ$,

prueba que $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico.

Nota: El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene forma de estrella de seis picos, donde los picos son $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ y $F_1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$, corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

Sean $A$ y $B$ conjuntos infinitos de números reales positivos tales que:

• Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es un elemento de $B$.

• Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$.

Prueba que $A = B$ o existe un número real $r$ tal que $B = \{2r, 3r, 4r, 5r, \dots\}$.

Nota: Un conjunto es una colección de objetos tal que cada objeto aparece a lo más una vez dentro del conjunto. A estos objetos se les denomina elementos del conjunto.

Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a, b, c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números

$$a+b-c, a-b+c, \text{ ó } -a+b+c.$$ El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. Si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, gana Ana ¿Quién puede asegurar su victoria?