OMM 2024 Problem 3

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ y $F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD$, $DE, EF$ y $FA$, respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ y $F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

• El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales y
• $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360^\circ$, donde todos los ángulos son menores a $180^\circ$,

prueba que $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico.

Nota: El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene forma de estrella de seis picos, donde los picos son $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1$ y $F_1$.