OMM 2008

Sean $1 = d_1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $n$. Encuentra todos los números $n$ tales que $n = d_2^2 + d_3^3$.

Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto $A$ fuera de $\Gamma$ y las tangentes $AB$, $AC$ a $\Gamma$ desde $A$, con $B$ y $C$ los puntos de tangencia. Sea $P$ un punto sobre el segmento $AB$, distinto de $A$ y de $B$. Considera el punto $Q$ sobre el segmento $AC$ tal que $PQ$ es tangente a $\Gamma$, y a los puntos $R$ y $S$ que están sobre las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, de manera que $RS$ es paralela a $PQ$ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos $APQ$ y $ARS$ no depende de la elección del punto $P$.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\ \hline 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 \\ \hline 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 \\ \hline 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 \\ \hline 49 & 50 & 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ \hline 57 & 58 & 59 & 60 & 61 & 62 & 63 & 64 \\ \hline \end{array}$$

Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos. ¿Cuál es la suma máxima que puedes obtener? Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en 2 esquinas opuestas de un rectángulo de $2 \times 3$ o de $3 \times 2$.

Un rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros, para ello, acomoda a los $n$ caballeros en una mesa redonda y hace que digan los números 1, 2, 3 y repitan de nuevo 1, 2, 3 y así sucesivamente (lo dicen en el sentido de las manecillas del reloj y cada persona dice un número). Las personas que dicen 2 ó 3 son retiradas inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un sólo caballero, el ganador. Se numeran las personas del 1 al $n$ conforme al primer turno.

Encuentra todos los valores de $n$ de tal manera que el ganador sea el caballero 2008.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los 2 vértices que forman a la arista. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

$a)$ Muestra que $\frac{2}{3}A \leq V$.

$b)$ ¿Es posible que $A = V$?

Las bisectrices internas de los ángulos $A$, $B$ y $C$ de un triángulo $ABC$ concurren en $I$ y cortan al circuncírculo de $ABC$ en $L$, $M$, $N$, respectivamente. La circunferencia de diámetro $IL$, corta al lado $BC$, en $D$ y $E$; la circunferencia de diámetro $IM$ corta al lado $CA$ en $F$ y $G$; la circunferencia de diámetro $IN$ corta al lado $AB$ en $H$ y $J$. Muestra que $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $J$ están sobre una misma circunferencia.