OMCPLP 2023 Problem 6

Uma calculadora tem duas teclas $A$ e $B$ e inicialmente ela exibe o número 1. Quando apertamos a tecla $A$, o número $x$ exibido é transformado no número $1 + x$, e quando apertamos a tecla $B$, o número $x$ exibido é transformado no número $\frac{x}{1+x}$. Por exemplo, o número 3 é transformado no número 4, ao apertar $A$, e o número $\frac{5}{2}$ é transformado no número $\frac{5}{1+\frac{5}{2}} = \frac{5}{7}$, ao apertar $B$.

(a) Partindo do número 1, determine a ordem que devemos apertar as teclas $A$ e $B$ de modo a exibir o número $\frac{20}{23}$. Apresente todas as possibilidades.

(b) Para cada número racional positivo $r \neq 1$, determine se é possível obtê-lo a partir de 1, apertando apenas as teclas $A$ e $B$.