OMCPLP 2023

Antigamente, existiam marcianos de 3 cores diferentes: vermelhos, verdes e azuis. Como Marte foi devastada por uma guerra intergaláctica, sobraram apenas 2 marcianos de cada uma das cores. Para reconstruir a população marciana, eles decidiram usar uma máquina que transforma dois marcianos, de cores distintas, em quatro marcianos com a cor diferente dos dois iniciais. Por exemplo, se um marciano vermelho e um marciano azul usassem a máquina, seriam transformados em quatro marcianos verdes. a) É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2022 marcianos vermelhos, 2022 marcianos verdes e 2022 marcianos azuis? b) É possível que, após usar essa máquina um número finito de vezes, tenhamos 2021 marcianos vermelhos, 2022 marcianos verdes e 2023 marcianos azuis?

Seja $D$ um ponto no interior de um triângulo $ABC$ tal que $AD = CD$, $\angle DAB = 70^\circ$, $\angle DBA = 30^\circ$ e $\angle DBC = 20^\circ$. Determine a medida do ângulo $\angle DCB$.

Um número inteiro $n$ será chamado de $k$-especial, com $k$ um número inteiro e positivo, se é a soma dos quadrados de $k$ inteiros consecutivos. Por exemplo, 13 é $2$-especial, pois $13 = 2^2 + 3^2$, e 2 é $3$-especial, pois $2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2$. a) Prove que não existe um quadrado perfeito que é $4$-especial. b) Determine um quadrado perfeito que seja $I^2$-especial, para algum inteiro positivo $I$ ímpar, com $I \geq 3$.

Um número inteiro positivo de três algarismos $\overline{ABC}$, será chamado de Lusófono, quando a soma $\overline{ABC} + \overline{CBA}$ é um quadrado perfeito. Determine todos os números Lusófonos.

Nota: $C \neq 0$ e $\overline{ABC}$ representa o número de três algarismos em que o $A$ ocupa a centena, $B$ ocupa a dezena e $C$ ocupa a unidade.

Seja $ABCDEF$ um hexágono regular de lado 1. Sejam $X, Y$ pontos sobre os lados $CD$ e $DE$, respectivamente, tais que o perímetro do triângulo $DXY$ é igual a 2. Determine a medida do ângulo $\angle XAY$.

Uma calculadora tem duas teclas $A$ e $B$ e inicialmente ela exibe o número 1. Quando apertamos a tecla $A$, o número $x$ exibido é transformado no número $1 + x$, e quando apertamos a tecla $B$, o número $x$ exibido é transformado no número $\frac{x}{1+x}$. Por exemplo, o número 3 é transformado no número 4, ao apertar $A$, e o número $\frac{5}{2}$ é transformado no número $\frac{5}{1+\frac{5}{2}} = \frac{5}{7}$, ao apertar $B$.

(a) Partindo do número 1, determine a ordem que devemos apertar as teclas $A$ e $B$ de modo a exibir o número $\frac{20}{23}$. Apresente todas as possibilidades.

(b) Para cada número racional positivo $r \neq 1$, determine se é possível obtê-lo a partir de 1, apertando apenas as teclas $A$ e $B$.