CONO-SUR 2024

Prove que existem infinitos inteiros positivos $a, b, c, d$ tais que

$$ab + 1, \quad bc + 16, \quad cd + 4, \quad da + 9$$

sejam quadrados perfeitos.

Sejam $ABC$ um triângulo e $A_1$ e $A_2$ pontos sobre o lado $BC, B_1$ e $B_2$ pontos sobre o lado $CA$ e $C_1$ e $C_2$ pontos sobre o lado $AB$, de modo que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ seja um hexágono convexo e $B, A_1, A_2$ e $C$ estejam, nessa ordem, situados sobre o lado $BC$.

Dizemos que os triângulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ e $CA_2B_1$ são coláveis se existirem um triângulo $PQR$ e pontos $X, Y$ e $Z$ sobre os lados $QR, RP$ e $PQ$, respectivamente, tais que $AB_2C_1$ seja congruente a $PYZ$ nessa ordem, $BA_1C_2$ seja congruente a $QXZ$ nessa ordem e $CA_2B_1$ seja congruente a $RXY$ nessa ordem.

Prove que os triângulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ e $CA_2B_1$ são coláveis se, e somente se, os baricentros de $A_1B_1C_1$ e de $A_2B_2C_2$ coincidirem.

Nota: o triângulo $FGH$ é congruente ao triângulo $IJK$ nessa ordem se $FG = IJ, GH = JK$ e $HF = KI$.

Encontre todos os inteiros positivos $n$ tais que $3^n - 2^n - 1$ seja um quadrado perfeito.

Para cada número inteiro positivo $N$ com um número par $2k$ de algarismos, o número trocado de $N$ é o número formado quando passamos os $k$ primeiros algarismos de $N$ para o final, sem alterar a ordem. Por exemplo, se $N = 123456$, o número formado pela primeira metade dos algarismos é 123, o formado pela segunda metade é 456 e o trocado é 456123; se $N = 2304$, o trocado de $N$ é 423. Um número inteiro positivo $C$ é dito cearense se as três seguintes condições forem satisfeitas:

(i) $C$ possui uma quantidade par de algarismos.

(ii) O número formado pela primeira metade dos algarismos de $C$ e o número formado pela segunda metade dos algarismos de $C$ são primos entre si.

(iii) $C$ divide o trocado de $C$.

Determine os dois menores números cearenses.

Uma permutação de $\{1, 2, \ldots, n\}$ é mágica se cada termo $j$ dela tiver ao menos $\left\lfloor \frac{j}{2} \right\rfloor$ números menores que ele à sua esquerda.

Por exemplo: $(1, 3, 4, 2, 5)$ é mágica; $(1, 5, 2, 3, 4)$ não é mágica, já que o 5 não tem ao menos $\left\lfloor \frac{5}{2} \right\rfloor = 2$ números menores que ele à sua esquerda.

Para cada $n$ natural, determine o número de permutações mágicas de $\{1, 2, \ldots, n\}$.

Nota 1: $\lfloor x \rfloor$ denota o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\lfloor 3, 5 \rfloor = 3$ e $\lfloor 20 \rfloor = 20$.

Nota 2: uma permutação de $\{1, 2, \ldots, n\}$ é uma maneira de listar os elementos desse conjunto em uma certa ordem. Por exemplo, $(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)$ são todas as permutações do conjunto $\{1, 2, 3\}$.

Em um tabuleiro $8 \times 8$ há 64 fichas iguais, uma em cada casa. Arnaldo e Bernaldo se colocam em um mesmo lado do tabuleiro e jogam alternadamente, com Arnaldo começando. O jogador da vez escolhe uma ficha e a movimenta, ou uma casa para a direita ($\rightarrow$), ou uma casa para cima ($\uparrow$) ou uma casa diagonalmente para cima, à direita ($\nearrow$). Se a ficha for movida para uma casa já ocupada, ambas as fichas são retiradas do tabuleiro. O jogador que não puder mais realizar nenhum movimento, perde. Qual dos dois jogadores tem uma estratégia vencedora?