OBM 2020

Prove que existem inteiros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ tais que

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{2a_2} + \frac{1}{3a_3} + \cdots + \frac{1}{2020a_{2020}} = 1.$$

Para $a$ inteiro positivo, defina $F_1^{(a)} = 1$, $F_2^{(a)} = a$ e, para $n > 2$, $F_n^{(a)} = F_{n-1}^{(a)} + F_{n-2}^{(a)}$. Um inteiro positivo é fibonático quando é igual a $F_n^{(a)}$ para algum $a$ inteiro positivo e algum $n > 3$. Prove que existem infinitos números inteiros que não são fibonáticos.

Sejam $r_A$, $r_B$ e $r_C$ semirretas de origem $P$. O círculo $\omega_a$, de centro $X$, é tangente a $r_B$ e $r_C$; o círculo $\omega_b$, de centro $Y$, é tangente a $r_C$ e $r_A$; e o círculo $\omega_c$, de centro $Z$, é tangente a $r_A$ e $r_B$. Suponha que $P$ está no interior do triângulo $XYZ$, de modo que $r_A$, $r_B$ e $r_C$ sejam tangentes comuns internas aos círculos correspondentes. Sejam $s_A$ a reta tangente internamente a $\omega_b$ e $\omega_c$ que não contém $r_A$, $s_B$ a reta tangente internamente a $\omega_c$ e $\omega_a$ que não contém $r_B$ e $s_C$ a reta tangente internamente a $\omega_a$ e $\omega_b$ que não contém $r_C$. Prove que $s_A$, $s_B$ e $s_C$ têm um ponto comum $Q$, e prove que $P$ e $Q$ são conjugados isogonais no triângulo $XYZ$, ou seja, as retas $XP$ e $XQ$ são simétricas com relação à bissetriz de $\angle YXZ$ e as retas $YP$ e $YQ$ são simétricas com relação à bissetriz de $\angle XYZ$.

Seja $ABC$ um triângulo. Os círculos ex-inscritos (que tangenciam um lado e os prolongamentos de outros dois lados) tocam os lados $BC$, $CA$ e $AB$ nos pontos $U$, $V$ e $W$, respectivamente. Sejam $r_u$ a reta que passa por $U$ e é perpendicular a $BC$, $r_v$ a reta que passa por $V$ e é perpendicular a $CA$ e $r_w$ a reta que passa por $W$ e é perpendicular a $AB$. Prove que as retas $r_u$, $r_v$ e $r_w$ passam por um mesmo ponto.

Sejam $n$ e $k$ números inteiros positivos com $k \le n$. Em um grupo de $n$ pessoas, cada uma ou sempre fala a verdade ou sempre mente. Arnaldo pode fazer perguntas para quaisquer dessas pessoas desde que essas perguntas sejam do tipo: "No conjunto $A$, qual a paridade de pessoas que falam a verdade?", onde $A$ é um subconjunto de tamanho $k$ do conjunto das $n$ pessoas. A resposta só pode ser "par" ou "ímpar".

(a) (4 pontos) Para quais valores de $n$ e $k$ é possível determinar quais pessoas falam a verdade e quais pessoas sempre mentem?

(b) (6 pontos) Qual o número mínimo de perguntas necessárias para determinar quais pessoas falam a verdade e quais pessoas sempre mentem, quando esse número é finito?

Sejam $f(x) = 2x^2 + x - 1$, $f^0(x) = x$ e $f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$ para todo $x$ real e $n \ge 0$ inteiro (ou seja, $f^n$ é a $n$-ésima iterada de $f$).

(a) (2 pontos) Determine o número de soluções reais distintas da equação de $f^3(x) = x$.

(b) (8 pontos) Determine, para cada $n \ge 0$ inteiro, o número de soluções reais distintas da equação $f^n(x) = 0$.