TR-MO 2023

Sonsuz çoklukta $k$ pozitif tam sayısı için

$$\frac{n^2+m^2}{m^4+n}=k$$

olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayılarının bulunmadığını gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $BPC$ üçgeninin çevrel çemberine $P$ noktasında içten teğet olan $\omega_A$ ve dıştan teğet olan $\Gamma_A$ çemberleri, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de sırasıyla $A_1$ ve $A_2$ noktalarında içten teğettir. $B_1$, $B_2$ ve $C_1$, $C_2$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çember merkezi olmak üzere, $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ ve $OP$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

Rakamlarının biri 1, biri 2, $\ldots$, biri 9 olan 9 basamaklı tüm sayılara dengeli sayı diyelim. Tüm dengeli sayıların yan yana ve küçükten büyüğe doğru yazılarak oluşturduğu rakam dizisi $S$ olsun. $S$ dizisindeki $k$ ardışık terimden oluşan herhangi iki alt dizinin birbirinden farklı olmasını sağlayan en küçük $k$ değerini bulunuz.

Başlangıçta tahta üzerinde her birinin 31 koordinatı olan 31 adet

$$(1,0,0,\ldots,0),\ (0,1,0,\ldots,0),\ \ldots,\ (0,0,0,\ldots,1)$$

31-lileri yazılmıştır. Her işlemde, tahtada bulunan $(a_1,a_2,\ldots,a_{31})$ ve $(b_1,b_2,\ldots,b_{31})$ 31-lileri seçiliyor ve $(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_{31}+b_{31})$ 31-lisi de tahtaya yazılıyor. En az kaç işlem sonucunda tahtada

$$(0,1,1,\ldots,1),\ (1,0,1,\ldots,1),\ \ldots,\ (1,1,1,\ldots,0)$$

31-lilerinin tümü yer alabilir?

23 gerçel sayıdan oluşan bir kümenin, boş olmayan ve elemanlarının çarpımı rasyonel sayı olan alt kümelerinin sayısı tam olarak 2422 olabilir mi?

Bir $ABC$ üçgeninin $BC$, $AC$, $AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$, $E$, $F$ noktaları $DE \parallel AB$, $DF \parallel AC$ ve $\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|^2}{|AC|^2}$ olacak şekilde alınıyor. $AEF$ üçgeninin çevrel çemberi, $AD$ doğrusu ile ikinci kez $R$ noktasında ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasından çizilen teğet ile ikinci kez $S$ noktasında kesişiyor. $EF$ doğrusu, $BC$ ve $SR$ doğruları ile sırasıyla $L$ ve $T$ noktalarında kesişiyor. $SR$ doğrusunun $[AB]$ doğru parçasını ortalaması için gerek ve yeter koşulun $BS$ doğrusunun $[TL]$ doğru parçasını ortalaması olduğunu gösteriniz.