TR-MO 2023 Problem 4

Başlangıçta tahta üzerinde her birinin 31 koordinatı olan 31 adet

$$(1,0,0,\ldots,0),\ (0,1,0,\ldots,0),\ \ldots,\ (0,0,0,\ldots,1)$$

31-lileri yazılmıştır. Her işlemde, tahtada bulunan $(a_1,a_2,\ldots,a_{31})$ ve $(b_1,b_2,\ldots,b_{31})$ 31-lileri seçiliyor ve $(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_{31}+b_{31})$ 31-lisi de tahtaya yazılıyor. En az kaç işlem sonucunda tahtada

$$(0,1,1,\ldots,1),\ (1,0,1,\ldots,1),\ \ldots,\ (1,1,1,\ldots,0)$$

31-lilerinin tümü yer alabilir?