OMM 2009

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$, y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

En cajas marcadas con los números $0$, $1$, $2$,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:

• Si $p$ es un número primo, este se coloca en la caja con el número $1$.
• Si el número $a$ se coloca en la caja con el número $m_a$ y $b$ se coloca en la caja con el número $m_b$, entonces el producto de $a$ y $b$, es decir $ab$, se coloca en la caja con el número $am_b + bm_a$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que cuando se coloquen queden en la caja con el número $n$.

Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Muestra que

$$\frac{a^3}{a^3+2} + \frac{b^3}{b^3+2} + \frac{c^3}{c^3+2} \geq 1 \text{ y que } \frac{1}{a^3+2} + \frac{1}{b^3+2} + \frac{1}{c^3+2} \leq 1.$$

Sea $n > 1$ un entero impar y sean $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $s = \pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n$ de manera que

$$m < s < M.$$

Considera un triángulo $ABC$ y un punto $M$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $AB$ por $M$ y a $BC$ por $B$, y sea $Q$ la intersección de las perpendiculares a $AC$ por $M$ y a $BC$ por $C$. Muestra que $PQ$ es perpendicular a $AM$ si y solo si $M$ es el punto medio de $BC$.

En una fiesta con $n$ personas, se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las $n$ personas se pueden separar en dos salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro no hay dos personas que se conozcan entre sí.

Nota. Conocerse se considera una relación mutua.