OMCPLP 2024

Determine as progressões geométricas tais que o produto dos três primeiros termos é 64 e a soma deles é 14.

Nota: Os números $a_1, a_2, a_3, \ldots$ formam uma progressão geométrica se existe um número real $k$ tal que $a_{n+1} = k \cdot a_n$, para todo o $n$.

Para cada conjunto de cinco inteiros $S = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$, seja $P_S$ o produto de todas as diferenças entre dois deles, isto é,

$$P_S = (a_5 - a_1)(a_4 - a_1)(a_3 - a_1)(a_2 - a_1)(a_5 - a_2)(a_4 - a_2)(a_3 - a_2)(a_5 - a_3)(a_4 - a_3)(a_5 - a_4)$$

Determine o maior inteiro $n$ tal que, dado qualquer conjunto $S$ de cinco inteiros, $n$ divide $P_S$.

Seja $ABC$ um triângulo cuja circunferência inscrita tem centro $I$. Uma reta $r$ que passa por $I$ interseta as circunferências circunscritas aos triângulos $AIB$ e $AIC$ nos pontos $P$ e $Q$, respetivamente. Prove que o circuncentro do triângulo $APQ$ pertence à circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$.

Na figura, os triângulos $ABC$ e $CDE$ são equiláteros, de lados 1 e 4, respetivamente. Além disso, $B$, $C$ e $D$ são colineares e $F$ e $G$ são os pontos médios de $BC$ e $CD$, respetivamente. Seja $P$ o ponto de interseção de $AF$ com $BE$. Determine a área do triângulo sombreado $BPG$.

Num tabuleiro quadriculado $9 \times 9$, as suas casas são numeradas de 11 a 99, com o primeiro algarismo a indicar a linha e o segundo a coluna.

Pretende-se pintar as casas de preto ou branco de forma a que cada casa preta seja adjacente a, no máximo, outra casa preta e cada casa branca seja adjacente a, no máximo, outra casa branca. Duas casas são adjacentes se tiverem uma aresta em comum.

Quantas formas existem de pintar o tabuleiro, de modo que as casas 44 e 49 sejam pretas?

Um inteiro positivo $n$ é chamado de oeirense se existirem dois inteiros positivos $a, b$, não necessariamente distintos, tais que $n = a^2 + b^2$.

Determine o maior inteiro $k$ para o qual existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $n, n+1, \ldots, n+k$ são oeirenses.