OBM 2003 Problem 5

Suponha que $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ satisfaz:

i) $x<y \Rightarrow f(x)<f(y)$

ii) $f\left(\dfrac{2xy}{x+y}\right)\geq \dfrac{f(x)+f(y)}{2}$, para todo $x, y \in (0,+\infty)$.

Prove que existe $x_0 \in (0,+\infty)$ tal que $f(x_0)<0$.