OBM 2003

Determine o menor número primo positivo que divide $x^2 + 5x + 23$ para algum inteiro x.

Seja S um conjunto de n elementos. Determine o menor inteiro positivo k com a seguinte propriedade: dados quaisquer k subconjuntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ de S, existe uma escolha adequada dos sinais + e – de modo que $S = A_1^{\pm} \cup A_2^{\pm} \cup \ldots \cup A_k^{\pm}$, onde $A_i^{+} = A_i$ e $A_i^{-} = S - A_i$ é o complementar de $A_i$ em relação a S.

Seja ABCD um losango. Sejam E, F, G e H pontos sobre os lados AB, BC, CD e DA, respectivamente, e tais que as retas EF e GH são tangentes à circunferência inscrita no losango. Prove que as retas EH e FG são paralelas.

São dados: uma circunferência $K$ e um ponto $A$ interior, fixo, distinto do centro. Determine os pontos $B$, $C$ e $D$ sobre a circunferência de forma que a área do quadrilátero $ABCD$ seja a maior possível.

Suponha que $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ satisfaz:

i) $x<y \Rightarrow f(x)<f(y)$

ii) $f\left(\dfrac{2xy}{x+y}\right)\geq \dfrac{f(x)+f(y)}{2}$, para todo $x, y \in (0,+\infty)$.

Prove que existe $x_0 \in (0,+\infty)$ tal que $f(x_0)<0$.

Um grafo cujo conjunto de vértices $V$ tem $n$ elementos é bacana se existir um conjunto $D\subset \mathbb{N}$ e uma função injetiva $f:V\to \left[1, n^2/4\right]\cap \mathbb{N}$ tal que os vértices $p$ e $q$ são ligados por uma aresta se e somente se $|f(p)-f(q)|\in D$.

Mostre que existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n\geq n_0$ existem grafos com $n$ vértices que não são bacanas.

Observação: Um grafo com conjunto de vértices $V$ é um par $(V, E)$ onde $E$ é um conjunto de subconjuntos de $V$, todos com exatamente dois elementos. Um conjunto $\{p, q\}$ é chamado de aresta se pertencer a $E$ e neste caso dizemos que esta aresta liga os vértices $p$ e $q$.