OMM 2007

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ hay 10 números consecutivos pero no 11.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano donde se halla $ABC$ que cumplan $\angle APB = \angle BPC$.

Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c=1$, muestra que

$$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \leq 2.$$

Para un entero positivo $n$ se definen $n_1$ como la suma de dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de dígitos de $n_2$. Por ejemplo, para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19$, $n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que

$$\begin{aligned} m + n &= 2007, \\ m_3 + n_3 &= 2007_3. \end{aligned}$$

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6 \times 6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y viceversa.

Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB > AC > BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle BAC = 2\angle ABM$.