IT-CESENATICO 2002

Determinare tutti gli interi positivi di tre cifre che sono uguali a 34 volte la somma delle loro cifre.

La pianta di una casa ha la forma di una L ottenuta affiancando in modo opportuno quattro quadrati il cui lato misura 10 metri. Le pareti laterali sono tutte alte 10 metri e il tetto della casa ha sei facce partenti dai sei muri laterali e inclinate di $30°$ rispetto ad un piano orizzontale. Determinare il volume della casa (cioè del solido delimitato dalle sei facce del tetto, dai sei muri laterali e dal piano orizzontale).

Deteminare per quali valori di $n$ tutte le soluzioni dell'equazione $X^3 - 3X + n = 0$ sono numeri interi.

Sia data una scacchiera di 100 righe e 100 colonne, con tutte le caselle bianche.

(a) È possibile colorare un numero dispari di caselle in modo tale che ogni casella colorata abbia un numero dispari di caselle colorate adiacenti?

(b) È possibile colorare alcune caselle in modo tale che un numero dispari di esse abbia esattamente 4 caselle adiacenti colorate e tutte le altre caselle colorate abbiano esattamente 2 caselle adiacenti colorate?

(c) È possibile colorare alcune caselle in modo tale che un numero dispari di esse abbia esattamente 2 caselle adiacenti colorate e tutte le altre caselle colorate abbiano esattamente 4 caselle adiacenti colorate?

Nota: Due caselle si considerano adiacenti se hanno un lato in comune.